結論
ツイートに URI を添付した際に自動で展開してくれる「カード*1」についてですが、その内容を変更するには明示的にキャッシュをクリアしないといけないようです。
キャッシュをクリアするためには以下の場所で URI を入れます（ログインが必要）。
「カード」の例
カードの例としては こちらのツイート のようなものがあります（下掲の画像）。
補足
いわゆる OGP についても同様に、以下のページでキャッシュをクリアします。
https://developers.facebook.com/tools/debug/og/object/
*1:という呼び名らしい
