結論
~/.zshrc に以下の内容を追記します。
autoload -Uz compinit && compinit autoload -U bashcompinit && bashcompinit complete -C '（aws_completerの実行コマンドの場所）' aws
例
私は pyenv を用いて Python 版の AWS CLI を用いていますので、以下の内容を ~/.zshrc に追記しました。
autoload -Uz compinit && compinit autoload -U bashcompinit && bashcompinit complete -C '~/.pyenv/shims/aws_completer' aws
動作確認
正しく設定されているか確認するには $ aws s を入力し、その後 TAB を押すとよいでしょう。
$ aws s s3 serverlessrepo ssm s3api service-quotas ssm-contacts s3control servicecatalog ssm-incidents s3outposts servicecatalog-appregistry sso sagemaker servicediscovery sso-admin sagemaker-a2i-runtime ses sso-oidc sagemaker-edge sesv2 stepfunctions sagemaker-featurestore-runtime shield storagegateway sagemaker-runtime signer sts savingsplans sms support schemas snow-device-management swf sdb snowball synthetics secretsmanager sns securityhub sqs
