結論
postgresql.conf と pg_hba.conf の2つのファイルを編集する。
1. postgresql.conf を編集する
listen_addresses という設定項目があるのでそこを編集します。デフォルトでは localhost になっています*1。カンマ区切りでアドレスを指定することができ、* で全て許可です。
これは大元の接続元の許可設定です。
2. pg_hba.conf を編集する
postgresql.conf を編集しただけではだめで pg_hba.conf も編集する必要があります。どのように編集すべきかは pg_hba.conf 内に詳しく書いてありますが、大抵の場合は以下の行を追加すればよいかと思います。123.123.123.0/24 のところは環境に合わせて変えてください。
host all all 123.123.123.0/24 md5
この設定は、認証方式（パスワードなど）でのログインを許可する設定です。
3. PostgreSQL を再起動する
設定が終わったら PostgreSQL を再起動すれば OK です。ただし、Ubuntu の場合は sudo service postgresql restart でなく sudo pg_ctlcluster 11 main restart が必要なようです。
補足
中から（local から）接続する場合は上記設定内容は関係がなく、host の部分を local に変えて設定する必要があります。
*1:コメントアウトされています
