MySQL GitHub Action (mysql-action) とは
結論
標題通りです。sudo service mysql restart しないと MySQL が起動しませんでした*1。
さらに起動を待つとより安全
以下の Issue にもあるように、起動を待つとより安全です。
v8 以上の場合は再起動をするとエラーになるようです。とともに、待たないとエラーになるようです（一例だけなので、すべての場合に当てはまるかどうかは確信が持てない）。
*1:たまたま、環境によるのかもしれない
