結論
手動で入れるしか無いようです（2020/09/22 現在）。
状況例
Vetur にしろ Todo Tree にしろ、下記のように SSH先 では手動でインストールしなければならないようです。同期機能は ON にしています*1。
試していないけれど
SSH元 の設定ディレクトリ内の extensions ディレクトリをまるごと SSH先 の設定ディレクトリにコピーすれば、もしかしたらいちいちインストールし直さなくてもいいかもしれません。が、試していないです。
*1:VS Code オフィシャルのものも、Settings Sync も
