結論

一度、heroku-postgresql を削除してから設定し直します。なお、削除の際はもちろん既存のデータは消えますので、別途予め救い出しておく必要があります*1。

具体的な方法

以下、CLI を使うことを前提とします。GUI でも同等の操作が可能です。

1. heroku addons:destroy heroku-postgresql コマンドを実行する

$ heroku addons:destroy heroku-postgresql を実行して、以下のようにして heroku-postgresql を削除します。本当に削除していいのかの確認が出ますので、それに答えます。

$ heroku addons:destroy heroku-postgresql
 ▸    WARNING: Destructive Action
 ▸    This command will affect the app ANATANO-APP-NO-NAMAE
 ▸    To proceed, type ANATANO-APP-NO-NAMAE or re-run this command with
 ▸    --confirm ANATANO-APP-NO-NAMAE

> ANATANO-APP-NO-NAMAE
Destroying postgresql-contoured-13974 on ⬢ ANATANO-APP-NO-NAMAE... done

2. heroku config:set を実行して、DATABASE_URL を設定する

$ heroku config:set DATABASE_URL="hogehoge" を実行し、DATABASE_URL を設定します。以下に、設定例を示します。

$ heroku config:set DATABASE_URL="postgresql://USERNAME:PASSWORD@DATABASE_HOST/DATABASE_NAME"
Setting DATABASE_URL and restarting ⬢ ANATANO-APP-NO-NAMAE... done, v20
DATABASE_URL: postgresql://USERNAME:PASSWORD@DATABASE_HOST/DATABASE_NAME

*1:ここではその方法は省略します