結論
以下のケースだとだめでした（アフィリエイトリンクです）。このときのケースのコントローラ表示は JMicron でした。
以下のケースだと OK でした（アフィリエイトリンクです）。
具体的な状況
RC-AC68U の USB3.0 のポートにケースを接続したとき、そのケースが USB3.0 に対応していなかったしても、USB2.0 としてならば認識します。
しかし「USBモード」を「USB3.0」にして適用すると、USBドライブを見失います。
USB3.0 に対応してるケースならば、「USBモード」を「USB3.0」にした状態でドライブを認識してくれます。
補足
「USBモード」を変更するとルータが再起動します。そのときの待ち時間が結構長い（2、3分ほど）であり、その間は接続が遮断されます。
切断されては困る作業を行っている場合には注意が必要です。
