結論
webpack.config.js に target: 'node' を追加します。例えば以下のようになります。
module.exports = { （省略） target: 'node', （省略） };
補足
fs はサーバサイド用のライブラリなので、フロントエンド（Webブラウザ）では一般的には用いません。この解決方法も、サーバサイドで node を用いる場合の解決方法です。
webpack を用いるときにはこの点も意識しておく必要があると思います。
感想
webpack 難しすぎ……。
