cron が動かなくてログも出力されない場合に調べるところ

結論

ログの出力先に書き込みできるパーミッションが設定されているかどうか。

補足

上記の場合だと、cron は実行されないわログは出ないわで気づきにくいです。

その他

定番の「フルパスで書いているか」も調べましょう。